$$ \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\dx}{\text{ dx}}
\newcommand{\rang}{\text{rang}}
\newcommand{\s}{\ \ \ \ \ \ }
\newcommand{\arrows}{\s \Leftrightarrow \s}
\newcommand{\Arrows}{\s \Longleftrightarrow \s}
\newcommand{\arrow}{\s \Rightarrow \s}
\newcommand{\c}{\bcancel}
\newcommand{\v}[2]{
\begin{pmatrix}
#1 \\
#2 \\
\end{pmatrix}
}
\newcommand{\vt}[3]{
\begin{pmatrix}
#1 \\
#2 \\
#3 \\
\end{pmatrix}
}
\newcommand{\stack}[2]{
\substack{
#1 \\
#2
}
}
\newcommand{\atom}[3]{
\substack{
#1 \\
#2
}
\ce{#3}
}
$$
Andengradspolynomier
Forskrift
$$f(x) = ax^2 + bx + c$$
$a$ = hældnings factor (bestemmer også retning af grafen, $a \neq 0$)
$b$ = hældningen i $x = 0$
$c$ = skæringspunkt med $y$-aksen
Grafen som et andengradspolynomie beskriver kaldes en parabel
Toppunktet
Punktet hvor hældingen er 0
Formel
$$\left( \frac{-b}{2a}, \frac{-d}{4a} \right)$$
Bevis
Dette er funktionen for et andengradspolynomium
$$f(x) = ax^2+bx+c$$
Vi differentierer
$$f’(x)=2ax+b$$
Vi ved at hældningen skal være $0$ i toppunktet, derfor sætter vi $f’(x)$ til $0$
$$0 = 2ax+b$$
Isolerer $x$
$$x=\frac{-b}{2a}$$
Dette er altså toppunktets $x$-koordinat.
Vi kan nu sætte dette ind i funktionsforskriften og finde toppunktets $y$-værdi
$$f(x)=a \cdot \left(\frac{-b}{2a} \right)^2 + b \cdot \left(\frac{-b}{2a} \right) + c$$
Simplificerer
$$f(x)=a \cdot \frac{(-b)^2}{2^2 \cdot a^2} + \frac{-b^2}{2a} + c \arrows f(x)=\cdot \frac{\c{a} \cdot b^2}{4a^\c{2}} + \frac{-b^2}{2a} +c$$
Det er nu sådan ud.
$$f(x)=\cdot \frac{b^2}{4a} + \frac{-b^2}{2a} + c$$
For at lægge ledene sammen skal de have fællesnævner
$$f(x)=\frac{b^2}{4a} + \frac{-2b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a} = \frac{-b^2+4ac}{4a}$$
Dette er altså udtrykket for toppunktets $y$-koordinat
Vi kan nu omskrive $-b^2 +4ac$ til $-d$
Altså er dette udtryk for toppunktet:
$$\left(\frac{-b}{2a}, \frac{-d}{4a} \right)$$
Diskriminanten
Diskriminanten angiver antallet af “rødder” parablen
$$d = b^2 - 4ac$$
Diskriminantens størrelse bestemmer antallet af nulpunkter/rødder
| d |
Rødder |
| $d < 0$ |
$0$ |
| $d = 0$ |
$1$ |
| $d > 0$ |
$2$ |
#Løsningsformlen kan brudes til at bestemme rødderme.
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{d}}{2a}$$
se beviset.
Se også
Backlinks