Bilineær z-transformation
See slides. $$s = f(z) = C \frac{z-1}{z+1}$$ $$H(z) = H(s)|_{s = f(z)}$$ $C$: Prewarping-konstanten
Oversættelsen til $z$-domæne er normalt $z = e^{sT}$. Dette betyder også: $$s = \frac{1}{T} \ln(z)$$ Da $\ln(x)$ er en uendelig sum giver dette et uendeligt antal poler/nulpunker i overføringsfunktioner i $z$-domænet.
I stedet approximerer vi med et førsteordens-taylorpolynomium: $$\ln(x) \approx 2 \frac{x-1}{x+1}$$ Det giver udtryk: $$s= \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1} \arrows z = \frac{\frac{2}{T} + s}{\frac{2}{T}-s}$$
Warping
Normalt er en vinkel på $\pi$ lig en frekvens lig $f_o$. Her er en vinkel på $\pi$ eller $-\pi$ lig en uendelig frekvens. Dette betyder at (specielt høje) frekvenser forvrænges.
$\Omega$: Original frekvens
$\omega$: Warpet frekvens
Pre-Warping
For at komme udenom warping warper vi først overføringsfunktionen i den mosatte retning, sådan et den resulterende overføringsfunktion har $f_{a}$.
Stopbåndsfrekvensen er knap så vigtig da warping blåt gør dæmpningen større.
DETTE NORMERER OGSÅ FREKVENSERNE
$$\Omega_{a} = C \tan\left(\frac{\omega_{a}T}{2}\right) \arrows C= \cot\left(\frac{\omega_{a}T}{2}\right)$$ $T$: Periode ($1/f_s$)
Procedure
-
Prewarping konstanten bestemmes som $$C= \cot\left(\frac{\omega T}{2}\right)$$ hvor $\omega = \omega_a$ ved lavpasfilterdesign og $\omega = \omega_{c}$ ved design af båndpas- og båndstopfiltre.
-
Prewarp og normer frekvenserne med formlen:
$$\Omega = c \cdot \tan\left(\frac{\omega T}{2}\right)$$
- Find formfaktoren $F$ bestem filtertype og find filterordenen.
Low/High-pass: $$F = \frac{\Omega_{s}}{\Omega_{a}}$$ **båndpas**: $$F = \frac{\Omega_{s_{2}}- \Omega_{s_{1}}}{\Omega_{a_{2}}- \Omega_{a_{1}}}$$
-
Den frekvensnormerede og faktoriserede analoge overføringsfunktion $H(s)$ opstilles (findes i tabel).
-
Transform to correct filter type (Filter Transformations)
-
Lav z-transformationen
$$s \rightarrow C \frac{z-1}{z+1}$$ 7. Overføringsfuntionen denormeres
- Filtret implementeres som en kaskadekoblet realisationsstruktur.