Funktioner af flere Variable
I stedet for at en funktion afhænger af en variabel som $f(x)$, så afhænger disse funktioner af flere uafhængige variable. $$f(x,y)$$ Her er de to uafhængige variabler $x$ og $y$.
HUSK $y$ er nu en uafhængig variabel.
Funktionsværdien ($f(x,y)$) hedder som udgangspunkt $z$.
Eks. 1
Eksempel på en funktion af to variable $$f(x,y)=z=\sqrt{x} \cdot y$$
Eks. 2
En funktion for volumet af en kasse med kvadratisk base $$V=h \cdot b^2$$ $$\Updownarrow$$ $$V(h,b)=h \cdot b^2$$
Noter
list
from #funktionafflerevariable
sort file.name
Definitionsmængde
$$Dm(f(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})) = \R^{n}\rightarrow \R$$
Plot
Funktioner af to variable skal tegnes i 3 dimensioner
Grænseværdier
Når $f(x)$ nærmer sig $L$ for $(x,y) \to (a,b)$ , så $$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x) = L$$ Hvis “omegnen” af $(a,b)$ tilhører def-mængden $Dm(f)$.
a) Hver omegn af ($a$, $b$) indeholder åunkter i def-mængden $Dm(f)$. b) For ethvert positivt tal $\epsilon$, eksisterer der et positivt tal $\delta = \delta(\epsilon)$, således at $$|f(x,y) - L| < \epsilon$$
er sandt når ($x$, $y$) er i def-mængden for $f$ og opfylder $$0< \sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}} < \delta $$
En grænseværdi eksisterer hvis den findes en relation mellem $\delta$ og $\epsilon$. $$\delta = f(\epsilon)$$
Fremgangsmåde til Opgaveløsning
Vis at Grænseværdien IKKE eksisterer
Kan vi komme til punktet $(a,b)$ fra forskellige sider, så skal det give det samme. Ellers eksisterer grænseværdien ikke.
$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} = \frac{2xy}{x^2+y^2}$$
- $f$ er defineret for alle $(x,y)$ pånær $(0,0)$
- lad $(x,y)$ gå mod $0$ langs $y=x$ og $y=x^{2}$ $y=x$ $$f(x,x)= \frac{2xx}{x^{2}+ x^{2}} = \frac{2x^{2}}{2x^{2}} = 1$$ $y=x^2$ $$f(x,x^{2}) = \frac{2xx^{2}}{x^{2}+x^{2^{2}}} = \frac{2x}{1+x^{2}}= \frac{2}{\frac{1}{x} + x} = 0$$
Da disse svar ikke er det samme, har punktet $(0,0)$ ikke defineret.
Vis at Grænseværdien EKSISTERER
Relater $\epsilon$ og $\delta$ med formlerne $$|f(x,y) - L| < \epsilon$$ og $$0< \sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}} < \delta $$