Impule Inveriant z-transformation
See slides. Keeps impulse response the same.
$$H(z) = T \cdot \mathcal{Z}[h(n)]$$
If $$H(s) = \sum_{i=1}^{N} \frac{k_{i}}{s-s_{i}}$$ then $$H(z) = T \sum_{i=1}^{N}k_{i}\frac{z}{z - e^{s_{i}T}} = T \sum_{i=1}^{N}k_{i}\frac{1}{1 - e^{s_{i}T}z^{-1}}$$
Procedure
- Bestem det analoge prototypefilters frekvensnormerede overføringsfunktion $H(s)$.
- Partialbrøksopløs $H(s)$ til 1. og 2. ordens overføringsfunktioner (maksimalt antal 2. ordens overføringsfunktioner).
- Denormer koefficienterne $k_i$ og polerne $\sigma_{i} + j\omega$ i ved *multiplikation med afskæringsfrekvensen ($\omega_{a}$) eller centerfrekvensen ($\omega_{c}$)*. $$H(s) = \sum_{i=1}^{N} \frac{k_{i}}{s-s_{i}}$$
- Bestem den digitale overføringsfunktions koefficienter. Hvis and ordens led se >Tranformation af 2. Ordens Overføringsfunktion. $$H(z) = T \sum_{i=1}^{N}k_{i}\frac{z}{z - e^{s_{i}T}} = T \sum_{i=1}^{N}k_{i}\frac{1}{1 - e^{s_{i}T}z^{-1}}$$
- Implementer overføringsfunktionen som en parallelstruktur.
Tranformation af 2. Ordens Overføringsfunktion
See slides.
Dette er den denormerede overføringsfunktionen $$ H(s) = \frac{A_{0}}{B_{0} + B_{1} s + B_{2}s}$$ Partialbrøkopløs for at finde $\alpha$ og $\beta$. $$ H(s) = \frac{k}{s-s_{i}} + \frac{k^{*}}{s-s_{i}^{*}}, \s \begin{cases} k = \alpha + j \beta \ s_{i} = \sigma_{i} + j \omega_{i} \ \end{cases} $$ Udregn konstanter $$ \begin{align} a_{0} &= 2 \alpha_{i} \ a_{1} &= -2e^{\sigma_{i}T}(\alpha \cos(\omega_{i}T) - \beta_{i} \sin(\omega_{i}T)) \ b_{1} &= -2e^{\sigma_{i}T} \cos(\omega_{i} T) \ b_{2} &= e^{2\sigma_{i}T} \end{align} $$
Opskriv overføringsfunktionen i z-donæne. $$ H(z) = \frac{a_{0} + a_{1}z^{-1}}{1+b_{1}z^{-1} + b_{2}z^{-2}} $$