Linære Ligningssystemer

“Vi vil gerne have noget der er linært, for så er det nemt at regne på” - Preben

Kan løses enten med den udvidede matrix eller den inverse matrix.

$m$ ligninger med $n$ ubekendte.

$a_{ij}$ : koefficienter $x_{i}$ : variable $b_{i}$ : konstanter

$$ \begin{cases} a_{11} \cdot x_{1}+a_{12} \cdot x_{2} + \dots + a_{1n} + x_{n}=b_{1} \ a_{21} \cdot x_{1}+a_{22} \cdot x_{2} + \dots + a_{2n} + x_{n}=b_{2} \ \s\s\vdots \ a_{m1} \cdot x_{1}+a_{m2} \cdot x_{2} + \dots + a_{mn} + x_{n}=b_{m} \end{cases} $$ $$\Downarrow$$ $$ \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \ \vdots \ x_n \ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} b_1 \ \vdots \ b_n \ \end{array} \right) $$

Noter

list
from #linæralgebra  
sort file.name

Den udvidede Matrix

En nemmere måde at opskrive ligningssystemer, hvor den variable undlades. $$\tilde{A} = \left( \begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & b_1 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & b_n\ \end{array} \right)$$ Her repræsenterer hver række hver ligning.

Løsninger af Linære Ligningssystemer

$m$ ligninger og $n$ ubekendte:

Der er én eller flere løsninger hvis kun hvis (se Rang af Matrix): $$\rang(A) = \rang{(\tilde{A})}$$ Der er én løsning hvis og kun hvis $$\rang(A)=\rang(\tilde{A})=n$$

Der eksisterer uendelig mange løsninger hvis: $$\rang(A) < n \s \text{og} \s \rang{(A)} = \rang(\tilde{A})$$

Homogene Linære Ligningssystemer

$$A\vec{x} = \vec{0}$$ Har altid mindst én løsning: $\vec{x}=\vec{0}$ (den trivielle løsning).

Regler for Løsning af Ligningssystemer

I almindelige linære ligningssystemer må vi

• Bytte om på rækkefølgen af to ligninger.
• Lægge en ligning (eller et multiplum heraf) til en anden ligning.
• Gange en ligning med en konstant (hvis $k\neq 0$)

Gauss Elimination

De samme regneregler bare for ligningssystemet på matrixform.

• Bytter to rækker med hinanden.
• Lægge en række (eller et multiplum heraf ) til en anden række.
• Gange en række med en konstant (hvis $k\neq 0$)