Linjer og Vektorer

En linje kan beskrives med to punkt og en vektor.

Der er to måder en vektor kan beskrive hældningen af en linje. Det er med en normalvektor eller en retningsvektor.

Linjens Ligningning

Vores punkt $$p = (x_0,y_y)$$

Vores normalvektor

$$\vec{n} = \begin{pmatrix} a \ b \ \end{pmatrix}$$

Ligning for linjen (linjens ligning):

$$a \cdot (x-x_0) + b \cdot (y - y_0) = 0$$

Alternativ ligning:

$$a \cdot x + b \cdot y + c = 0$$ $$c = - (a \cdot x_0 + b \cdot y_0)$$

Det er vigtigt at pointere at $c$ er en konstant

Parameterfremstilling

Ligning:

$$ \v{x}{y} = \v{x_0}{y_0} + t \cdot \v{r_1}{r_2} $$

Dette kan omskrives som to funktioner for henholdsvis $x$ og $y$ således:

$$x(t) = x_0 + t \cdot r_1$$ $$y(t) = y_0 + t \cdot r_2$$

Dette er altså retningsvektoren

$$\v{r_1}{r_2} = \vec{r}$$

Et punkt på linjen kan beskrives som, vektorbasen $\v{x_0}{y_0}$ + retningsvektoren $\vec{r}$ ganget med $t$.

Ved at ændre $t$ kan vi altså nå hvilket som helst punkt på linjen.

240

Vinklen mellem vektorer

$$cos(v) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

Dette kan bruges med både retnings- og normalvektorer

Hvis man har en af hver, omdanner man en af de to.

Projektion af et punkt på en linje

230

Order of operations

1. Find en retnings- eller normalvektor for linjen
2. Opstil >Parameterfremstilling eller >Linjens Ligningning for en hjælpelinje, der går gennem punktet der skal projekteres.
3. Find skæringen mellem linjerne, det er $x$-koordinaten for det projekterede punkt.
4. Sæt $x$-værdien ind i funktionen for en af linjerne for at finde punktets $y$-værdi

Afstanden til et punkt fra en linje (uden at kende punktet på linjen).

Afstanden fra punktet til linjen $a \cdot x + b \cdot y + c = 0$ er givet ved:

$$dist(P,f) = \frac {|a \cdot x_1 + b \cdot y_1 + c|} {\sqrt{a^2+b^2}} $$

alternativ ligning hvis $$y = a \cdot x + b$$

$$dist(P,f) = \frac {|a \cdot x_1 + b - y_1|} {\sqrt{a^2 + 1}} $$

Afstanden mellem to paralelle linjer

Vælg et punkt og den linje der ikke går gennem punktet.

230

Vi bruger formlen for Afstanden til et punkt fra en linje