Matricer

En matrix her $m$ rækker og $n$ søjler.

$$ A_{m\times n} = \left( {\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\ \end{array} } \right)$$ Se også bogen.

Noter om Matricer

list
from #matricer 
sort file.name

Scalar Multiplikation

Gang alle elementer i matrixen med konstanten.

Gange med matricer

$$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} \cdot b_{kj}$$ $c_{ij}$ er altså prikproduktet af $A$’s række $i$ og $B$’s søjle $j$.

Hvis man vil gange matrix $A$ med matrix $B$, så skal $A$’s rækker være lig $B$’s søjler. $$A_{m\times n} \cdot B_{n\times m}\s\checkmark$$

Altid række gange søjler.række

Ikke Kommutativ

Rækkefølgen er IKKE ligegyldig. (heller ikke hvis deres dimensioner er de samme).

$$A \cdot B \neq B \cdot A$$

Associativ

$$A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C$$

Resultat

$$C_{m\times p} = A_{n\times m} \cdot B_{n\times p}$$

Addition

• Skal have samme størrelse
• Man lægger sammen elementvis

$$A + B = B + A$$

Kvadratiske matricer

En matrix er kvadratisk hvis den har lige mange rækker og kolonner.

Transponering

“Byt rækker og kolonner”

$$ A_{m\times n}^T = \left( {\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{1m}\ a_{11} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{mn}\ \end{array} } \right) $$ $$\left(A^T\right)^T = A$$ Dette er også sandt $$(A \cdot B)^{T} = B^{T} \cdot A^{T}$$

Symmetriske matricer

Matrix $A$ er symmetrisk hvis $A^T = A$.

Alle symmetriske matricer er kvadratiske.