Rotation

Se slideshow.

$$\theta(t)$$ $\theta(t)$ : Vinkel som funktion af tid.

Øjeblikkelig vinkelhastighed

Vi kan selvfølgelig differentiere $\theta(t)$ for at få vinkel-hastigheden. $$\vec{\omega} = \frac{d \theta(t)}{dt} \hat{\omega}$$ $\hat{\omega}$ : Enhedsvektor (Peger “op” ad tommelfingeren med højrehåndsmetoden) $\vec{\omega}$ : Vinkelhastigheden til tiden $t$.

Konstant vinkelhastighed

$$\theta(t) = \theta_{0} + \omega_{0} \cdot t$$

Vinkelacceleration

Igen kan vinkelhastigheden differentieres for at få vinkelaccelerationen. $$\vec{\alpha} = \frac{d \omega(t)}{dt} \cdot \hat{\omega} = \frac{d^{2} \theta}{dt^{2}} \cdot \hat{\omega}$$

De kinematiske ligninger kan også anvendes til rotation. (slide) $$ \begin{align} \omega(t) &= \omega_{0} + \alpha t \ \theta(t) &= \theta_{0} + \omega_{0}t + \frac{1}{2}\alpha t^{2} \ \omega^{2} &= \omega_{0}^{2}+ 2 \alpha(\theta-\theta_{0}) \end{align} $$

Position, Hastighed og Acceleration

Se slide.

Sted

$$s=r\theta$$

Hastighed

$$v = \frac{ds}{dt} = r \frac{d\theta}{dt} = r\omega$$

Acceleration

Tangentacceleration (I bevægelsesretningen) $$\vec{a_{t}} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\omega r) = \frac{d\omega}{dt}r=\alpha r$$

Radialacceleration/Centripetalaccelerationen (Mod omdrejningspunktet) $$\vec{a_{r}}= \frac{v^{2}}{r} = \omega^{2}r$$

Den totale acceleration $$\vec{a_{total}} = \vec{a_{r}}+ \vec{a_t}$$

Rotationsenergi

Et objekts kinetiske energi i cirkelbevægelse.

$$K= \frac{1}{2} \cdot I \cdot \omega^2$$ $I$ : Inertimoment

RotationsArbejde (slide)

$$\Delta K = K_{f}- K_{i}$$

$$W = \int_{\theta_{i}}^{\theta_{f}} \vec{\tau} \cdot d\vec{\theta}$$

Rotations-Effekt

$$P = \frac{\vec{\tau} \cdot d \vec{\theta}}{dt} = \vec{\tau} \cdot \vec{\omega}$$