Vektorer

Vektor = en retning i et punkt. Det kan opfattes som et linjestykke der går ud fra punktet. $$\vec{a} = \begin{pmatrix} x \ y \ \end{pmatrix}$$ $$\text{længde af vektor} = \left| \vec{a} \right|,\ \ x^{2} + y^{2} = {|\vec{a}|}^{2}$$ vektor lægges sammen: $$\begin{pmatrix} x1 \ y1 \ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x2 \ y2 \ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x1 + x2 \ y1 + y2 \ \end{pmatrix}$$

Noter om Vektorer

list
from #vektorer 
sort file.name

Prik produkt

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + \dots = \sum_{i=1}^{n}a_i b_i$$ Ortogonal hvis $\vec{a} \bullet \vec{b} = 0$

Hvis to vektorer er paralelle ($\vec{a} || \vec{b}$): $\vec{a} \bullet \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ (see >Angle between vectors)

Krydsprodukt

Kun for 3D vektorer $$v \times w = \det(\left[v , w\right])$$

$$\vt{a_1}{a_2}{a_3} \times \vt{b_1}{b_2}{b_3} = \vt{a_2b_3-a_3b_2}{-(a_1b_3 - a_3b_1)}{a_1b_2-a_2b_1}$$

$$\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0} \s \text{fordi den er parallel med sig selv}$$ $$\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}$$

Længden af et krydsprodukt

$$|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}| \cdot \sin \theta$$ $\theta$: Vinkel mellem vektorene.

Vinkel mellem Vektorer

$$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \arrows \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cdot \cos \theta$$

Længde

$$|\vec{a}| = \sqrt{\sum _{i=1}^n a_i^2}$$

Projektion

Scalar Projektion

Projection af $\vec{u}$ på $\vec{v}$. Dvs. $\vec{u}$ i $\vec{v}$’s retning. $$s = \vec{u} \bullet \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = |\vec{u} | \cdot \cos \theta $$ $\theta$: angle between $b$ and $a$

Vektor projektion

Projection af $\vec{u}$ på $\vec{v}$. $$\vec{u}_{\vec{v}} = s \cdot \hat{\vec{v}} = \left(\vec{u} \cdot \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\right) \cdot \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$$