Andengradspolynomier

Dette er funktionen for et andengradspolynomium $$f(x) = ax^2+bx+c$$ Vi differentierer $$f'(x)=2ax+b$$ Vi ved at hældningen skal være $0$ i toppunktet, derfor sætter vi $f'(x)$ til $0$ $$0 = 2ax+b$$ Isolerer $x$ $$x=\frac{-b}{2a}$$ Dette er altså toppunktets $x$-koordinat.

Vi kan nu sætte dette ind i funktionsforskriften og finde toppunktets $y$-værdi $$f(x)=a \cdot \left(\frac{-b}{2a} \right)^2 + b \cdot \left(\frac{-b}{2a} \right) + c$$ Simplificerer $$f(x)=a \cdot \frac{(-b)^2}{2^2 \cdot a^2} + \frac{-b^2}{2a} + c \arrows f(x)=\cdot \frac{\c{a} \cdot b^2}{4a^\c{2}} + \frac{-b^2}{2a} +c$$ Det er nu sådan ud. $$f(x)=\cdot \frac{b^2}{4a} + \frac{-b^2}{2a} + c$$ For at lægge ledene sammen skal de have fællesnævner $$f(x)=\frac{b^2}{4a} + \frac{-2b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a} = \frac{-b^2+4ac}{4a}$$ Dette er altså udtrykket for toppunktets $y$-koordinat

Vi kan nu omskrive $-b^2 +4ac$ til $-d$

Altså er dette udtryk for toppunktet: $$\left(\frac{-b}{2a}, \frac{-d}{4a} \right)$$