Bevægelse på Skråplan

På billedet ovenfor ses en plan klods, der glider ned af et skråplan uden gnidning. Skråplanet danner vinklen $\alpha$ med vandret. Kræfterne, der virker på klodsen, er indtegnet på figuren, og de er som følger:

Tyngdekraften:

$$F_{t} = m \cdot g$$

Som kan opdeles i to komposanter:

$$F_{1} = m \cdot g \cdot \sin{(\alpha)}$$

$$F_{2} = m \cdot g \cdot \cos{(\alpha)}$$

Normalkraften er lige så stor og modsatrettet som $F_{2}$:

$$F_{N} = F_{2}$$

Ligger vi et koordinatsystem, så x-aksen følger skråplanet og y-aksen er vinkelret på skråplanet for vi således:

$$F_{res,x} = F_{1} = m \cdot g \cdot \sin(\alpha)$$

$$F_{res,y} = F_{2} - F_{N} = 0$$

Ud fra Newtons II lov kan vi bestemme accelerationen i x-aksens retning:

$$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin(\alpha) \s \Longleftrightarrow \s a = g \cdot \sin(\alpha)$$

Her kan vi se at tyngdekraften virker i retninen $\alpha$.

Ser vi nu på en plan klods på skråplanet med gnidning, får vi en gnidningskraft i modsatte retning af $F_{1}$, jf. Figur 2. Denne gnidningskraft er givet ved:

$$F_{\text{gnid}} = \mu \cdot F_{N} = \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos{(\alpha)}$$

Hvorfor den resulterende kraft i x-aksens retning nu er:

$$F_{res,x} = F_{1} - F_{\text{gnid}} = m \cdot g \cdot \sin(\alpha) - \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos{(\alpha)}$$

Hvor vi igen ud fra Newtons II lov lov kan finde accelerationen:

$$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin(\alpha) - \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha) \s \Longleftrightarrow \s a = g \cdot \left( \sin(\alpha) - \mu \cdot \cos(\alpha) \right)$$

Bevæger klodsen sig med konstant hastighed ned af skråplanet, dvs. med $a = 0$, kan vi bestemme gnidningskoefficienten, $\mu$, ud fra ovenstående formel:

$$0 = \sin(\alpha) - \mu \cdot \cos(\alpha) \s \Longleftrightarrow \s \mu = \tan(\alpha)$$

Ud fra ovenstående ses det altså, at vi ud fra vinklen, $\alpha$, kan bestemme henholdsvis acceleration på en plan klods uden gnidningsmodstand og gnidningskoefficient mellem klods og skråplan med gnidningsmodstand. Vinklen kan endvidere bestemmes ud fra længde, l, og højden, h, af skråplanet:

$$\tan(\alpha) = \frac{h}{l}$$

Vi ser således, at:

$$\mu = \frac{h}{l}$$

Afhængig af opstillingen kan det være nemmere at måle længden af skråplanet (hypotenusen) i stedet for enten l eller h. I dette tilfælde overlades det til laseren selv at finde en forskrift for gnidningskoefficienten ud fra trigonometriske betragtninger.