Dæmpede Svingninger

$$a \cdot y'' + b \cdot y' + c \cdot y = 0 \arrows (a \cdot r^2 + br + c) \cdot e^{rt} = 0$$

Udledning

$$a \cdot y'' + b \cdot y' + c \cdot y = 0$$ Gæt på løsning $$\begin{align} >y(t) & = e^{rt} \ >y'(t) & = r \cdot e^{rt} \ >y''(t) & = r^2 \cdot e^{rt} >\end{align}$$ Sætter ind

$$a \cdot r^2 \cdot e ^{rt} + b \cdot r \cdot e^{rt} + c \cdot e^{rt} = 0$$

Sætter > $e^{rt}$> uden for parentes $$(a \cdot r^2 + br + c) \cdot e^{rt} = 0$$ Parentesen er et > andengradspolynomie> .

Rødder, dæmpningstype og løsninger

Variabler $A$ : Den første integrationskonstant. $B$ : Den anden integrationskonstant. $r$ : rod/rødder.

Overdæmpet: to reelle (eller imaginære) rødder. $$y(x) = A \cdot e^{r_1x} + B \cdot e^{r_2x}$$

Kritisk Dæmpet: én dobbeltrod. $$y(x) = A \cdot e^{rx} + B \cdot x \cdot e^{rx}$$

Underdæmpet: Når der kun er imaginære løsninger. $$y(x) = A \cdot e^{kx} \cdot \cos(\omega x) + B \cdot e^{kx} \cdot \sin(\omega x)$$ $$r = k \pm \omega i$$ $k$ : det reelle komponent af $r$. $w$ : det imaginære komponent af $r$.