$$ \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\dx}{\text{ dx}}
\newcommand{\rang}{\text{rang}}
\newcommand{\s}{\ \ \ \ \ \ }
\newcommand{\arrows}{\s \Leftrightarrow \s}
\newcommand{\Arrows}{\s \Longleftrightarrow \s}
\newcommand{\arrow}{\s \Rightarrow \s}
\newcommand{\c}{\bcancel}
\newcommand{\v}[2]{
\begin{pmatrix}
#1 \\
#2 \\
\end{pmatrix}
}
\newcommand{\vt}[3]{
\begin{pmatrix}
#1 \\
#2 \\
#3 \\
\end{pmatrix}
}
\newcommand{\stack}[2]{
\substack{
#1 \\
#2
}
}
\newcommand{\atom}[3]{
\substack{
#1 \\
#2
}
\ce{#3}
}
$$
Tangentplan og Normaler
I en funktion med to variable kan vi ikke tegne en Tangent- linje, men i stedet et tangentplan. Dette tangentplan viser alle de mulige tangenter i et givent punkt.
Dette er tangentplanet til punktet $(a,b,f(a,b))$ (minder om Linarisering).
$$z = f(a,b) + f'{a}(a,b)(x-a) + f'{b}(a,b)(y-b)$$
Normalvektor til tangentplanet
$$\vec{n} = \vt{f'{x}(x,y)}{f'{y}(x,y)}{-1}$$
Normallinjen
$$\frac{x-a}{f'{a}(a,b)} = \frac{y-b}{f'{b}(a,b)} = \frac{z-f(a,b)}{-1}$$
Begge ligheder skal være sande.