Små Integrationsbeviser

Her er beviser for de følgende regneregler: $\int k \cdot f(x)\ dx = k \cdot \int f(x)\ dx$ , $\int f(x)+g(x)\ dx = \int f(x)\ dx + \int g(x)\ dx$, og ideen om at en given funktion ($f(x)$) har flere stamfunktioner (($F(x)$)).

Bevis at $f(x)$ har to forskellige stamfunktioner: $F_1(x)$ og $F_2(x)$.

$$\int f(x)\ dx = F_1(x) + k = F_2(x) + k$$

Dette skal være sandt hvis begge funktioner er stamfunktioner, da de begge er ens

$$F_1(x) = F_2(x) \Longleftrightarrow F_1(x) - F_2(x) = 0$$

Da $(k)' = 0$ må dette være sandt

$$F_1(x) - F_2(x) = k$$

Vi kan ku omskrive udtrykket til

$$F_1(x) = F_2(x) + k$$

Altså er vores bevis gennemført

Bevis for ligningen $\int k \cdot f(x)\ dx = k \cdot \int f(x)\ dx$

I dette bevis gør vi brug af Integrationsprøven

Vi differenciere

$$(\int k \cdot f(x)\ dx)' = (k \cdot\int f(x)\ dx)'$$

Vi lader differentialet opløse integrales på venstre side og lader $k$ stå uden for differentialet.

$$k \cdot f(x)\ dx = k \cdot (\int f(x)\ dx)'$$

Vi kan nu lade det sidste integrale gå ud med differentialet

$$k \cdot f(x)\ dx = k \cdot f(x)\ dx$$

done

Bevis for udtrykket $\int f(x)+g(x)\ dx = \int f(x)\ dx + \int g(x)\ dx$

Vi differentierer det HELE $$(\int f(x)+g(x)\ dx)' = (\int f(x)\ dx + \int g(x)\ dx)'$$

Bruger Differentialregning Regneregler

$$(\int f(x)+g(x)\ dx)' = (\int f(x)\ dx)' + (\int g(x)\ dx)'$$

Nu går alle integralerne ud med mærkerne

$$f(x)+g(x) = f(x) + g(x)$$

Tags

#matematik